أدلة Easy Learning Academy
حساب النهايات: ماذا نفعل عندما نحصل على صفر على صفر؟
النهاية تصف سلوك قيم الدالة عندما يقترب المتغير من عدد معين داخل مجال تعريفها. قد توجد نهاية عند عدد لا تكون الدالة معرفة فيه. لذلك افصل بين سؤالين: أين يمكن حساب الدالة؟ وإلى أي قيمة تقترب قرب العدد المدروس؟
ابدأ بالمجال ثم جرّب التعويض
في دالة كسرية، استبعد القيم التي تجعل المقام صفرًا. إذا كانت الدالة مستمرة عند العدد المدروس، يمكنك حساب النهاية بالتعويض. أما إذا جعل التعويض البسط والمقام يساويان صفرًا، فقد حصلت على حالة عدم تعيين تحتاج إلى تحويل مناسب للتعبير.
الصفر على الصفر لا يساوي عددًا تستطيع استعماله جوابًا. ابحث عن تحليل إلى عوامل أو عن تحويل جبري يحافظ على قيمة التعبير في جوار العدد المدروس. اكتب شروط كل اختزال، ثم احسب نهاية التعبير المبسّط.
مثال محلول: اختزال عامل مشترك
نحسب نهاية كسر بسطه مربع المتغير ناقص واحد، ومقامه المتغير ناقص واحد، عندما يقترب المتغير من واحد.
النهاية موجودة مع بقاء الدالة غير معرّفة عند واحد
التعبير ومجال التعريف
f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1); D = ℝ \ {1}المقام يساوي صفرًا عند واحد؛ لذلك لا توجد قيمة للدالة عند هذا العدد في التعريف المعطى.
تحليل فرق مربعين
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)يسمح التحليل بإظهار العامل الذي سبّب حالة عدم التعيين.
الاختزال مع شرطه
f(x) = x + 1; x ≠ 1التعبيران متساويان لكل قيمة مسموح بها من المتغير، ومنها القيم القريبة من واحد من الجهتين.
حساب النهاية
lim(x → 1) f(x) = 2عندما يقترب المتغير من واحد، يقترب مجموع المتغير وواحد من اثنين. الاختزال لا يضيف العدد واحدًا إلى مجال الدالة الأصلية.
احسب نهاية g(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) عندما يقترب x من 2، واذكر هل g(2) معرّفة في هذا التعبير.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
التحليل والاختزال
g(x) = x + 2; x ≠ 2النهاية وقيمة الدالة
lim(x → 2) g(x) = 4الدالة غير معرفة عند اثنين. وجود النهاية لا يغيّر مجال التعريف: المقام الأصلي ينعدم عند هذا العدد.
تحقّق من جهة الاقتراب
عندما يختلف السلوك بحسب جهة الاقتراب، احسب النهاية من اليسار والنهاية من اليمين. لا توجد نهاية واحدة عند العدد إلا إذا اتفقت النهايتان، في الحالة التي يمكن فيها الاقتراب من الجهتين داخل المجال.
مثلًا، دالة مقلوب المتغير تأخذ قيمًا موجبة تزداد بلا حد عند الاقتراب من الصفر من اليمين، وقيمًا سالبة تتناقص بلا حد من اليسار. لا يكفي القول إن المقام يقترب من صفر؛ إشارة البسط والمقام وجهة الاقتراب تساعد على تحديد السلوك الصحيح.