أدلة Easy Learning Academy
الاشتقاق: من حساب المشتقة إلى دراسة تغيرات الدالة
تعطي المشتقة ميل المماس عندما تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة. وتساعد إشارة المشتقة على دراسة تغيرات الدالة على مجال. بعد حسابها، حدّد أين تكون موجبة أو سالبة، ثم اربط النتيجة بسلوك الدالة الأصلية.
رتّب دراسة التغيرات
اكتب مجال التعريف ومجال الاشتقاق أولًا. كثيرات الحدود معرفة وقابلة للاشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية. عند اشتقاق كل حد، حافظ على معاملاته وإشاراته؛ فمشتقة الثابت صفر، ومشتقة مربع المتغير هي ضعف المتغير.
حل معادلة انعدام المشتقة، ثم ادرس إشارتها على المجالات الفاصلة بين حلولها. إذا كانت المشتقة موجبة تمامًا على مجال، فالدالة متزايدة تمامًا عليه؛ وإذا كانت سالبة تمامًا، فالدالة متناقصة تمامًا. احسب صور النقاط المهمة باستعمال الدالة الأصلية.
مثال محلول: دالة تربيعية لها قيمة صغرى
ندرس تغيرات الدالة التي تساوي مربع المتغير ناقص أربعة أمثال المتغير زائد واحد، ثم نكتب معادلة مماس منحناها عند الفاصلة واحد.
نحسب المشتقة ونقرأ إشارتها
الدالة ومشتقتها
f(x) = x^2 - 4x + 1; f′(x) = 2x - 4; D = ℝانعدام المشتقة وإشارتها
f′(x) = 0 ⇔ x = 2المشتقة سالبة عندما يكون المتغير أصغر من اثنين، وموجبة عندما يكون أكبر من اثنين. تتناقص الدالة إلى الفاصلة اثنين ثم تتزايد بعدها.
القيمة الصغرى والتحقّق
f(2) = -3; f(x) = (x - 2)^2 - 3مربع عدد حقيقي غير سالب، لذلك لا تنزل قيمة الدالة عن سالب ثلاثة. تبلغ هذه القيمة عند الفاصلة اثنين.
ميل المماس ونقطة التماس
f′(1) = -2; f(1) = -2معادلة المماس
y = f′(1)(x - 1) + f(1) = -2xالمشتقة تعطي الميل، بينما قيمة الدالة تحدّد إحداثيات النقطة التي يمر بها المماس.
للدالة g(x) = x^2 + 2x + 4، احسب المشتقة وحدّد الفاصلة التي تتحقق عندها القيمة الصغرى وقيمة هذا الحد الأدنى.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
المشتقة ونقطة تغيّر إشارتها
g′(x) = 2x + 2; g′(x) = 0 ⇔ x = -1القيمة الصغرى
g(-1) = 3; g(x) = (x + 1)^2 + 3تتناقص الدالة قبل سالب واحد وتتزايد بعده، وقيمتها الصغرى تساوي ثلاثة.
لا تخلط بين الدالة ومشتقتها
حل معادلة انعدام المشتقة يعطي نقاطًا تستحق الدراسة، لكنه وحده لا يثبت وجود قيمة صغرى أو كبرى. للدالة مكعب المتغير، تنعدم المشتقة عند الصفر دون أن تغيّر إشارتها؛ وتواصل الدالة الزيادة عبر الصفر.
عند إكمال جدول التغيرات، احسب قيم الدالة وحدودها عند أطراف المجال بحسب السؤال. إذا أردت معادلة مماس، استعمل فاصلة التماس في الدالة وفي المشتقة معًا. الخلط بين النتيجتين قد يعطي مستقيمًا له الميل الصحيح لكنه لا يمر بالنقطة المطلوبة.