أدلة Easy Learning Academy
الاحتمالات: كيف يتغيّر الحساب عند السحب دون إرجاع؟
قبل حساب احتمال، حدّد التجربة وشروطها: ماذا نسحب؟ كم مرة؟ وهل نعيد العنصر المسحوب؟ في السحب دون إرجاع يتغيّر محتوى الوعاء بعد السحب الأول، فتتغير احتمالات السحب الثاني بحسب ما حدث أولًا.
اكتب الحدث المطلوب بوضوح
في المثال التالي، يحتوي وعاء على ثلاث كرات حمراء وكرتين زرقاوين. نسحب كرتين تباعًا دون إرجاع، مع افتراض أن لكل كرة موجودة فرصة متساوية للسحب في كل مرة. نهتم بالألوان، ونميّز بين السحب الأول والثاني.
حدث «كرتان حمراوان» يفرض الحمراء في المرتين. أما حدث «حمراء واحدة على الأقل» فيشمل حمراء واحدة وكذلك كرتين حمراوين. لذلك يمكن حسابه باستعمال الحدث المقابل، وهو عدم ظهور الحمراء إطلاقًا، أي ظهور الزرقاء في المرتين.
مثال محلول: احتمال شرطي وحدث مقابل
نرمز إلى اللون الأحمر بالحرف R وإلى الأزرق بالحرف B، ويشير الرقم إلى ترتيب السحب. نضرب احتمال الفرع الأول في احتمال الفرع الثاني بشرط وقوع الأول.
نتابع تغيّر عدد الكرات بعد كل سحب
احتمال الحمراء أولًا
P(R1) = 3/5احتمال الحمراء ثانيًا بعد حمراء أولى
P(R2 | R1) = 2/4بعد سحب حمراء تبقى أربع كرات، منها حمراوان. لهذا تغير كل من البسط والمقام.
احتمال كرتين حمراوين
P(R1 and R2) = (3/5) × (2/4) = 3/10احتمال الحدث المقابل لظهور الحمراء
P(B1 and B2) = (2/5) × (1/4) = 1/10إذا كانت الأولى زرقاء، تبقى زرقاء واحدة بين أربع كرات.
احتمال حمراء واحدة على الأقل
P(at least one red) = 1 - 1/10 = 9/10نطرح احتمال عدم ظهور الحمراء من واحد، فنحتفظ بكل النتائج التي تظهر فيها حمراء مرة أو مرتين.
أعد التجربة بالكرات نفسها، لكن أرجع الكرة بعد السحب الأول واخلط قبل السحب الثاني. احسب احتمال كرتين حمراوين، ثم احتمال حمراء واحدة على الأقل.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
كرتان حمراوان مع الإرجاع
(3/5) × (3/5) = 9/25الإرجاع يعيد الوعاء إلى تركيبه الأول، فتبقى فرصة الحمراء في كل سحب ثلاثة أخماس.
حمراء واحدة على الأقل مع الإرجاع
1 - (2/5) × (2/5) = 21/25نستعمل الحدث المقابل نفسه، مع احتمال الزرقاء المناسب لتجربة الإرجاع.
راجع نموذج السحب قبل إجراء العمليات
في السحب دون إرجاع، لا تستعمل احتمال السحب الأول تلقائيًا في السحب الثاني. حدّث عدد الكرات وعدد عناصر اللون المطلوب على كل فرع. وإذا رسمت شجرة، يجب أن يكون مجموع احتمالات الفروع الخارجة من العقدة نفسها مساويًا لواحد.
انتبه إلى الفرق بين «على الأقل واحدة» و«واحدة بالضبط». الحالة الأولى تتضمن سحب كرتين حمراوين، بينما تستبعدها الثانية. راجع أيضًا أن الاحتمال النهائي يقع بين صفر وواحد؛ خروج النتيجة عن هذا المجال يدل على خطأ في تعريف الحالات أو في الحساب.