أدلة Easy Learning Academy
المتتاليات الهندسية: كيف نحسب حدًا ومجموع حدود؟
في المتتالية الهندسية، ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه بضربه في عدد ثابت يسمى الأساس. ابدأ بتحديد هذا الأساس ورتبة الحد الأول؛ فعدد الضربات التي نحتاج إليها يتغير إذا بدأت الرتب من صفر أو من واحد.
تحقّق من العلاقة قبل استعمال القانون
نفترض هنا أن الحد الأول والأساس غير منعدمين، وأن الرتب أعداد صحيحة غير سالبة. إذا كان كل حد يساوي الحد السابق مضروبًا في العدد نفسه، فالمتتالية هندسية. يمكنك حساب النسبة بين حدين متتاليين للتحقّق، بشرط ألا تقسم على حد يساوي صفرًا.
عندما تبدأ الرتب من صفر، نضرب الحد الأول في الأساس عددًا من المرات يساوي رتبة الحد المطلوب. وإذا بدأت من واحد، يكون عدد الضربات أقل بواحد من الرتبة. اكتب أول حدين أو ثلاثة للتأكد من اختيار الصيغة الصحيحة قبل إجراء حساب طويل.
مثال محلول: أساس يساوي ثلاثة
متتالية حدها الأول ذو الرتبة صفر يساوي 2 وأساسها 3. نحسب الحد ذا الرتبة 4، ثم مجموع الحدود من الرتبة 0 إلى الرتبة 4 شاملًا الطرفين.
نحدّد عدد الضربات وعدد الحدود
العلاقة وعبارة الحد العام
u(0) = 2; u(n + 1) = 3u(n); u(n) = 2 × 3^nللانتقال من الحد ذي الرتبة صفر إلى الحد ذي الرتبة أربعة نضرب في الأساس أربع مرات.
حساب الحد المطلوب
u(4) = 2 × 3^4 = 162الحدود الخمسة الأولى هي: 2، 6، 18، 54، 162.
مجموع الحدود عندما يكون الأساس مختلفًا عن واحد
S(n) = u(0) × (1 - q^(n + 1)) / (1 - q); q ≠ 1يتضمن المجموع الحدود من الرتبة صفر إلى الرتبة n، وعددها n زائد واحد.
التعويض والتحقّق
S(4) = 2 × (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242التحقّق بجمع الحدود مباشرة يعطي النتيجة نفسها: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
جرّب متتالية أخرى: حدها ذو الرتبة صفر يساوي 16، وأساسها نصف. احسب الحد ذا الرتبة 3 ومجموع الحدود من الرتبة 0 إلى الرتبة 3.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
الحد المطلوب
v(3) = 16 × (1/2)^3 = 2المجموع
16 + 8 + 4 + 2 = 30هنا يصبح كل حد نصف سابقه، مع بقاء الحدود موجبة.
راجع الرتب والحالة الخاصة للأساس
لا تستعمل صيغة المجموع السابقة عندما يكون الأساس واحدًا، لأن مقامها يصبح صفرًا. في هذه الحالة تكون الحدود كلها مساوية للحد الأول، ويكفي ضرب قيمة الحد في عدد الحدود. أما الأساس السالب، فيغيّر إشارة الحد عند كل انتقال إذا كان الحد الأول غير منعدم.
ميّز بين عدد الحدود ورتبة الحد الأخير. في المثال بدأنا من صفر وانتهينا عند أربعة، فجمعنا خمسة حدود. احتفظ بهذا الفحص البسيط عند تغيير بداية المجموع أو نهايته في تمرين آخر.