أدلة Easy Learning Academy
الدالة الأسية: تحويل معادلة أسية إلى معادلة تربيعية
الدالة الأسية ذات الأساس e معرفة لكل عدد حقيقي، وقيمها موجبة دائمًا. عندما يجتمع في معادلة الحد الأسي للمتغير والحد الأسي لضعفه، يمكن أن يساعدك تعويض واحد على تحويلها إلى معادلة تربيعية أسهل في الحل.
احتفظ بالقواعد والشروط أثناء الحساب
أسية مجموع عددين تساوي حاصل ضرب أسيتيهما. وبذلك تساوي أسية ضعف المتغير مربع أسيته. هذه العلاقة هي التي تسمح بالتعويض في المثال الآتي. أما أسية فرق عددين، فتساوي خارج قسمة أسيتيهما، ومقام هذا الخارج موجب فلا ينعدم.
الدالة الأسية متزايدة تمامًا على الأعداد الحقيقية، وتأخذ القيمة واحدًا عند الصفر. إذا تساوت أسيتا عددين حقيقيين، فالعددان متساويان. وعندما تختار متغيرًا جديدًا يساوي أسية المتغير الأصلي، اكتب مباشرة أنه موجب؛ ستحتاج إلى هذا الشرط عند اختيار الحلول.
مثال محلول: اختيار تعويض مناسب
نحل معادلة تتكوّن من أسية ضعف المتغير ناقص ثلاثة أمثال أسية المتغير زائد اثنين. نبحث عن جميع حلولها الحقيقية.
نحل في المتغير الجديد ثم نعود إلى المتغير الأصلي
المعادلة والتعويض
e^(2x) - 3e^x + 2 = 0; t = e^x > 0لأن أسية ضعف المتغير تساوي مربع أسيته، تصبح المعادلة تربيعية في المتغير الجديد.
التحليل
t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2) = 0حلول المعادلة التربيعية
t = 1 or t = 2الحلان موجبان، لذلك يمكن أن يمثّل كل منهما قيمة للدالة الأسية.
العودة إلى المتغير الأصلي
e^x = 1 ⇒ x = 0; e^x = 2 ⇒ x = ln(2)مجموعة الحلول
S = {0, ln(2)}يمكن التحقّق بالتعويض في المعادلة الأولى. عند الحل الثاني تصبح الحدود: أربعة ناقص ستة زائد اثنين، ومجموعها صفر.
حل في الأعداد الحقيقية المعادلة e^(2x) + e^x - 2 = 0. تحقّق من إشارة كل حل تجده للمتغير الجديد قبل العودة إلى x.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
التحليل بعد التعويض
t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2) = 0; t > 0اختيار الحل المسموح
t = 1; x = 0نرفض القيمة سالب اثنين للمتغير الجديد، لأن الدالة الأسية لا تأخذ قيمة سالبة.
راجع التعويض والعودة إلى المجهول
لا تجمع الأسيّات بجمع الأسس: قاعدة جمع الأسس تخص حاصل الضرب. انتبه أيضًا إلى أن حل المعادلة في المتغير الجديد ليس نهاية العمل؛ السؤال يطلب قيم المتغير الأصلي، وقد يؤدي نسيان هذه العودة إلى كتابة جواب مختلف عن المطلوب.
إذا انتقلت لاحقًا إلى الاشتقاق، فمشتقة أسية المتغير هي أسية المتغير نفسها. وعند تركيبها مع دالة قابلة للاشتقاق، تضرب في مشتقة الدالة الداخلية. لذلك تظهر قيمة اثنين إضافية عند اشتقاق أسية ضعف المتغير. اكتب التعبير كاملًا قبل الاختزال حتى لا يسقط هذا العامل.