أدلة Easy Learning Academy
فيثاغورس: عيّن الزاوية القائمة والوتر قبل التعويض
مبرهنة فيثاغورس تربط أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية. لا يكفي أن يبدو الرسم قائمًا؛ يجب أن تكون الزاوية القائمة معطاة أو مثبتة. الوتر هو الضلع المقابل لهذه الزاوية، وهو أطول أضلاع المثلث، ويظهر مربّعه وحده في طرف المساواة.
اكتب العلاقة بأسماء الأضلاع
إذا كان المثلث ABC قائمًا في A، فالوتر هو BC، وتكتب العلاقة BC² = AB² + AC². لحساب الوتر نجمع مربّعي الضلعين الآخرين، ثم نأخذ الجذر التربيعي الموجب. ولحساب أحد الضلعين الآخرين نطرح مربّع الضلع المعلوم من مربّع الوتر قبل أخذ الجذر.
وحّد وحدات الأطوال قبل التربيع: لا تجمع مربع طول بالسنتيمتر مع مربع طول بالمتر. نتائج التربيع لها وحدات مربّعة، أمّا الجذر النهائي فيعود إلى وحدة الطول. احتفظ بالقيمة الدقيقة أثناء الحساب، ولا تقرّب إلا في النهاية إذا طلب السؤال تقريبًا.
مثال محلول: حساب طول الوتر
المثلث ABC قائم في A، وطولا الضلعين المجاورين للزاوية القائمة هما AB = 6 cm وAC = 8 cm. المطلوب حساب BC. المعطيات تحدّد الزاوية القائمة، لذلك استعمال المبرهنة مبرّر.
من مربّع الطول إلى الطول نفسه
تعيين الوتر
BC² = AB² + AC²الضلع BC مقابل للزاوية القائمة في A.
التعويض والحساب
BC² = (6 cm)² + (8 cm)² = 100 cm²استخراج الطول
BC = √(100 cm²) = 10 cmالطول موجب، فلا نحتفظ بالقيمة السالبة لحلّ معادلة المربّع.
فحص النتيجة
10 > 8; 10 > 6الوتر المحسوب أطول من كل ضلع آخر، كما ينبغي في مثلث قائم.
سلّم طوله 13 m يستند إلى جدار عمودي على أرض أفقية. تبعد قاعدته 5 m عن الجدار. بافتراض أن السلّم مستقيم وأن المسافات تشكّل مثلثًا قائمًا، احسب ارتفاع نقطة ملامسته للجدار.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
تحديد الوتر والمجهول
13² = 5² + h²السلّم هو الوتر، والارتفاع h موجب.
الطرح والجذر
h² = 169 - 25 = 144; h = 12 mميّز بين المبرهنة وعكسها
عندما تكون أطوال الأضلاع الثلاثة لمثلث معلومة وتريد إثبات أنه قائم، استعمل عكس المبرهنة: احسب مربّع أطول ضلع ومجموع مربّعي الضلعين الآخرين، ثم قارن القيم الدقيقة. إذا تساويا، فالمثلث قائم والضلع الأطول وتره. يجب أن تكون الأعداد أطوال مثلث فعلًا، لا ثلاث قيم لا تحقق شروط تكوين مثلث.
إذا لم تجد المساواة، فلا تستنتج أن المثلث قائم اعتمادًا على الرسم. وفي الحساب المباشر، تجنّب جمع الأطوال بدل مربّعاتها أو أخذ الجذر لكل حدّ على حدة. بعد التصحيح، أعد تسمية الوتر وتفسير الوحدة قبل إعادة العملية العددية.