أدلة Easy Learning Academy
طاليس: تحقّق من التوازي ورتّب الأطوال المتناظرة
تساعد مبرهنة طاليس على حساب أطوال باستعمال التناسب عندما تتوفر شروط هندسية محدّدة. نعالج هنا وضعية داخل مثلث غير منعدم: النقطة M على القطعة [AB] والنقطة N على القطعة [AC]، وكلتاهما تختلف عن A، والمستقيمان MN وBC متوازيان.
اربط كل ضلع بالضلع المناظر له
في هذه الوضعية، المثلث الصغير AMN والمثلث الكبير ABC يشتركان في الرأس A. النسب المتساوية هي AM/AB وAN/AC وMN/BC. اكتب الأطوال الصغيرة في البسط والكبيرة في المقام في المساويات كلها، أو اعكس النسب كلها معًا؛ لا تعكس نسبة واحدة وحدها.
قبل التعويض، سجّل انتماء النقطتين إلى القطعتين والتوازي المعطى. وجود نقاط تبدو مستقيمية أو مستقيمين يبدوان متوازيين في الرسم لا يكفي لإثبات الشروط. وحّد الوحدات، وتحقّق أن المقامات غير منعدمة؛ أطوال أضلاع المثلث غير المنعدم موجبة.
مثال محلول: نسبة تصغير واحدة لحساب طولين
في مثلث ABC، لدينا AB = 10 cm وAC = 15 cm وBC = 12 cm. تقع M داخل [AB] بحيث AM = 4 cm، وتقع N على [AC] بحيث MN يوازي BC. نريد حساب AN وMN.
تثبيت ترتيب النسب ثم استخراج الطول
كتابة علاقة طاليس
AM/AB = AN/AC = MN/BCترتيب النقطتين والتوازي يحققان شروط الوضعية المدروسة.
حساب نسبة التصغير
k = AM/AB = 4/10 = 2/5النسبة بلا وحدة لأن الطولين مقاسان بالسنتيمتر.
حساب الطول الأول
AN = (2/5) × 15 = 6 cmحساب الطول الثاني
MN = (2/5) × 12 = 24/5 = 4.8 cmكل طول في المثلث الصغير يساوي الطول المناظر في الكبير مضروبًا في النسبة نفسها.
في الوضعية الداخلية نفسها مع MN يوازي BC، خذ AB = 12 cm وAC = 18 cm وBC = 15 cm وAM = 8 cm. احسب نسبة التصغير، ثم AN وMN.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
النسبة
k = 8/12 = 2/3الطولان
AN = (2/3) × 18 = 12 cm; MN = (2/3) × 15 = 10 cmافحص النتيجة وافهم متى تستعمل العكس
في المثال، تقع M وN داخل القطعتين، لذا تكون نسبة التصغير بين الصفر والواحد، ويكون AN أصغر من AC وMN أصغر من BC. نتيجة أكبر من الضلع المناظر في هذه الوضعية تنبّهك غالبًا إلى قلب نسبة أو عدم احترام الوحدات. ارجع إلى ترتيب الحروف قبل تعديل الحساب.
إذا كان المطلوب إثبات التوازي، فالأداة هي عكس طاليس. في الوضعية الداخلية نفسها، تحقّق من تموضع M على [AB] وN على [AC]، ثم قارن AM/AB وAN/AC بقيم دقيقة. تساوي النسبتين يسمح باستنتاج توازي MN وBC. لا تستعمل النتيجة المطلوبة على أنها معطى، ولا تعمّم ترتيب هذه الوضعية على رسم آخر دون فحص مواضع النقاط.