أدلة Easy Learning Academy
اللوغاريتم النيبيري: اكتب مجال التعريف قبل حل المعادلة
في الأعداد الحقيقية، يوجد اللوغاريتم النيبيري لعدد موجب فقط. إذا ظهر المتغير داخل اللوغاريتم، ابدأ بحل شرط الإيجابية. احتفظ بهذا المجال أثناء تحويل المعادلة، ثم اختبر فيه كل حل تحصل عليه في النهاية.
شرط الوجود يسبق قواعد التحويل
عند وجود لوغاريتمين في العبارة نفسها، يجب أن يكون ما داخل كل واحد منهما موجبًا. لا يكفي أن يصبح حاصل ضرب العبارتين موجبًا بعد التحويل، فقد يكون العاملان سالبين وتكون العبارة الأصلية غير معرفة.
لعددين موجبين، لوغاريتم الجداء يساوي مجموع اللوغاريتمين، ولوغاريتم الخارج يساوي فرقهما. واللوغاريتم النيبيري متزايد تمامًا على الأعداد الموجبة، لذلك يؤدي تساوي لوغاريتمين إلى تساوي ما بداخلهما، بعد التأكد من تحقق شروط الوجود.
مثال محلول: حل جبري خارج المجال
نحل معادلة مجموع لوغاريتم المتغير ناقص واحد ولوغاريتم المتغير زائد واحد، عندما يساوي هذا المجموع لوغاريتم ثلاثة.
نرفض الحل الذي لا يجعل اللوغاريتمين معرفين
المعادلة وشروط الوجود
ln(x - 1) + ln(x + 1) = ln(3); x - 1 > 0; x + 1 > 0يجب تحقق الشرطين معًا، فيكون مجال البحث هو الأعداد الأكبر تمامًا من واحد.
جمع اللوغاريتمين على المجال المسموح
ln((x - 1)(x + 1)) = ln(3); x > 1حل المعادلة الجبرية
x^2 - 1 = 3 ⇒ x^2 = 4 ⇒ x = 2 or x = -2اختبار الحلول في المجال
S = {2}نرفض سالب اثنين: إحدى العبارتين داخل اللوغاريتم تساوي سالب ثلاثة والأخرى سالب واحد، فلا يكون أي منهما موجبًا.
التحقّق من الحل المقبول
ln(2 - 1) + ln(2 + 1) = ln(1) + ln(3) = ln(3)لوغاريتم واحد يساوي صفرًا، فتتحقق المعادلة الأصلية.
حل المعادلة ln(x - 2) + ln(x) = ln(3)، مع كتابة مجال البحث واختبار الحلول فيه.
عرض تصحيح السؤال التطبيقي
المجال والتحويل
x > 2; x(x - 2) = 3الحلول الجبرية
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0الحل المقبول
S = {3}نرفض سالب واحد لأنه خارج المجال. وعند ثلاثة يكون حاصل ضرب ما داخل اللوغاريتمين مساويًا لثلاثة.
تحويلات تستحق الانتباه
لوغاريتم مجموع عددين لا يساوي عمومًا مجموع لوغاريتميهما؛ القاعدة السابقة تخص الجداء. وعند استعمال قاعدة الخارج، يجب أن يكون كل من البسط والمقام داخل اللوغاريتمين موجبًا قبل كتابتهما منفصلين.
يمكنك التحقّق من جوابك بالتعويض في العبارة الأصلية، ثم مقارنة طرفي المعادلة. هذا الفحص يكشف الحلول التي ظهرت أثناء التحويل وخرجت عن المجال. وإذا احتجت إلى تقريب عددي، احتفظ أولًا بالتعبير الدقيق؛ فالتقريب المبكر قد يخفي فرقًا بين قيمتين متقاربتين. تفحّص الإشارة أيضًا: لوغاريتم عدد بين صفر وواحد سالب، ولوغاريتم عدد أكبر من واحد موجب.